Un des principaux inconvénients des polynômes d'interpolation de Lagrange est leur grande fluctuation imposée par le fait qu'ils doivent fournir un résultat exact en tout point du support. Il n'y a pas de prise en compte d'une quelconque "souplesse" du tracé de la fonction d'interpolation. Les fonctions splines tentent de satisfaire cette nouvelle contrainte en ne proposant pas une interpolation globale mais par morceaux.
Soit 
. On considère 4 valeurs
consécutives ( 
), ( 
, ( 
et ( 
). Sur l'intervalle 
(qui est celui
qui nous intéresse car par définition 
), on
définit le polynôme d'interpolation 
par les contraintes
suivantes :
est un polynôme du 3ème degré
et 
: cette contrainte,
assure la continuité de la fonction d'interpolation sur tout le
support.
et 
:
cette contrainte dite de raccordement des dérivées, assure la continuité
de la dérivée de la fonction d'interpolation.
Puisque est un polynôme de degré 3, sa dérivée seconde 
est une droite telle que (d'après la troisième contrainte) :
Sous sa forme de Lagrange, on a
Par deux intégrations successives, on obtient
Grâce à la deuxième contrainte, on obtient deux relations permettant de déterminer les deux constantes d'intégration C et D
On obtient alors la forme finale du polynôme d'interpolation.
En se servant de la contrainte 3, on peut déduire n-2 relations liant les
entre eux.
Pour résoudre ce système d'équations, il est nécessaire de connaitre
2 valeurs. Le plus souvent, on impose des conditions aux limites, c'est à
dire sur les valeurs 
et 
. Ce système d'équations a une solution
particulière due à la structure des équations. Supposons connues les valeurs
et , l'équation précédente peut se reformuler sous la forme :
pour 
avec
L'algorithme de résolution est le suivant :
La complexité de cet algorithme est O(n).