Cette formule suppose que l'on peut choisir le support,
i.e. les 
. Il faut donc fixer un ensemble
de contraintes.
Gauss propose que l'on choisisse le support de telle manière que la
formule soit exacte pour tout polynôme de degré inférieur
ou égal à 2n+1 (en effet, on dispose de 2n+2 degrés de
liberté constitués par les n+1 points du support
et les n+1 coefficients 
). Ceci revient donc à résoudre
Ce système d'équations est un système non linéaire en les
inconnues et . Cependant, sa forme particulière a pu
permettre sa résolution (la solution obtenue est unique).
L'erreur d'intégration est obtenue en calculant l'erreur commise sur le premier polynôme non pris en compte dans les contraintes, i.e. le polynôme de degré 2n+2. On obtient ensuite l'erreur grâce au théorème sur les noyaux de Peano.
Définition : On appelle Noyau de Péano la
fonction 
où le symbole + en indice signifie que l'on ne garde que les
valeurs positives et 
est l'erreur de la formule
de quadrature pour la fonction f.
Théorème : Si le noyau de Péano ne change pas de
signe dans [a,b] alors 
tel que
En pratique, on recherche le plus grand degré n validant ce
théorème. Dans le cas de la quadrature de Gauss, ce théorème
nous permet d'écrire
Ce principe s'applique également à d'autres bases de polynômes. On pourrait ainsi choisir comme base les polynômes de Chebycheff.
Formule du point milieu
C'est la forme la plus simple de la formule de quadrature de Gauss.
Le support est constitué d'un seul point 
et donc la formule
n'a qu'un seul coefficient 
. La formule doit être exacte pour
et 
. Par résolution simple, on trouve
L'erreur d'intégration est obtenue en calculant l'erreur commise sur le premier polynôme non pris en compte dans les contraintes, i.e. le polynôme de degré 2.
L'erreur est deux fois moins grande qu'avec les trapèzes. Ceci est normal car
on a plus de degrés de liberté.
Si on décompose l'intervalle [a,b] en n intervalles égaux
de largeur 
et que l'on applique la formule du point milieu
sur chaque intervalle, on obtient
Ce type de formule sera d'autant plus précis que la valeur de h sera petite. Cependant, en contre partie, le coût est également directement lié à la valeur de n.