Ces méthodes visent à accélérer la convergence sans coût supplémentaire.
Soit V(h) la valeur de l'intégrale numérique obtenue pour le pas h. On a alors
L'hypothèse de Richardson est que l'on peut faire une approximation de type Taylor, ce qui nous donne
ce qui est vrai pour les trapèzes. On en déduit
On introduit alors
On est ainsi passé d'une précision en O(h) à une
précision en 
. On peut réitérer le raisonnement. Si
alors
Plus généralement, l'algorithme de Richardson est ainsi construit
On peut montrer que 
.
Dans le cas des trapèzes, ces hypothèses s'appliquent très bien car on a un théorème qui indique le comportement de la formule de quadrature.
Théorème : Si 
alors
où 
est la valeur fournie par la formule des trapèzes et
les valeurs 
des constantes.
La méthode de Romberg utilise l'algorithme de Richardson pour
ce qui donne
