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La représentation en virgule flottante

Soit un réel x et b une base de numération, la représentation repose sur la propriété suivante :

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(m,e) est la représentation en virgule flottante de x dans la base b. La contrainte de non nullité du premier digit assure l'unicité de cette représentation (pour une base b donnée). Bien sûr, cette contrainte ne peut pas s'appliquer pour le cas particulier du zéro.

Sur ordinateur, on utilise cette représentation avec quelques contraintes qui sont toutes liées au fait qu'un ordinateur étant une machine physique, elle a obligatoirement des limites. On ne peut donc pas représenter de nombres réels sur un ordinateur.

En conséquence de ces limites, il existe donc un nombre limité de nombres représentables sur machine, que l'on note généralement tex2html_wrap_inline1563 .

Exemple : b=10. Considérons que l'exposant est codé sur 8 bits et que la mantisse comporte 8 digits. Le plus petit chiffre représentable (en valeur absolue) est tex2html_wrap_inline1571 , et le plus grand tex2html_wrap_inline1573 . Dans ce système, un nombre est codé sur 1 (signe) + 8 (nombre de digits) tex2html_wrap_inline1575 4 (nombre de bits pour coder un digit) + 8 (exposant) = 41 bits soit plus de 5 octets ce qui est beaucoup pour une précision que l'on peut considérer comme très faible.

Propriétés et définitions

Plus petit nombre représentable : tex2html_wrap_inline1577

Plus grand nombre représentable : tex2html_wrap_inline1579

Dépassement de capacité : Si l'on cherche à représenter un nombre plus petit que tex2html_wrap_inline1581 , on produit un débordement par valeur inférieure (underflow). Si l'on cherche à représenter un nombre plus grand que M, on produit un débordement par valeur supérieure (overflow).

Le zéro : le zéro est le seul nombre qui ne peut pas se représenter dans le système en virgule flottante à cause de la contrainte de non nullité du premier digit. Il est donc nécessaire d'établir une convention. tex2html_wrap_inline1585 avec tex2html_wrap_inline1587 et tex2html_wrap_inline1589 (on parle alors de représentation absolue) ou tex2html_wrap_inline1591 non défini (on parle alors de représentation relative). En effet, la seule donnée de tex2html_wrap_inline1587 suffit à spécifier de manière unique le nombre 0, la valeur de l'exposant n'est pas nécessaire.


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Jean-Michel JOLION
Fri Sep 10 13:28:20 METDST 1999