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Test de Spearman

On peut ici réutiliser le coefficient de corrélation de Spearman qui va indiquer le degré de liaison existant entre le classement des éléments d'un échantillon selon la variable $x$ et le classement des mêmes éléments selon la variable $y$. Une forte valeur du coefficient de corrélation de Spearman indiquera une liaison entre les deux variables (puisqu'induisant des classements linéairement liés). Cette approche n'a de sens que si les échantillons des v.a. $X$ et $Y$ sont appariés.

Pour calculer le coefficient de corrélation de Spearman, il s'agit de calculer le rang de chaque élément dans la série croissante de valeurs de $x$ et de $y$ puis de calculer la différence de classement $d_i$$i$ dénote le $i$-ème élément de l'échantillon. L'indicateur de Spearman est donné par :

\begin{displaymath}
r_s = 1 - 6 \frac{\sum_{i=1}^{i=n} d_i^2}{n(n^2-1)}
\end{displaymath}

Il existe des versions plus sophistiquées de cet indicateur qui tiennent compte des ex-aequos dans les classements (cette correction n'est nécessaire que si ce nombre d'ex aequos devient important).

Sous l'hypothèse d'indépendance entre les deux variables, on peut montrer que

\begin{displaymath}
E[R_s] = 0 \mbox{~et~} V[R_s] = \frac{1}{n-1}
\end{displaymath}

$R_s$ est la variable aléatoire associée à l'indicateur de Spearman. De plus, si l'effectif est grand ($n \ge 30$), cette vatiable aléatoire suit approximativement une loi normale. On peut donc construire un test sur la variable

\begin{displaymath}
Z_{R_s} = R_s \sqrt{n-1}
\end{displaymath}

qui suit une loi normale centrée réduite. On retrouve un test équivalent à un test de moyenne de loi normale. Dans le cas d'un test bilatéral, avec un risque de $\alpha$, la règle de décision est

Si $\vert\sqrt{n-1} r_s\vert > z_{\alpha/2}$ alors $H_1$ sinon $H_0$ et $P(Y < z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$$Y$ désigne la loi normale centrée réduite.

Pour les petits échantillons, il est nécessaire d'avoir recours à une table spécifique de Spearman.


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Jean-Michel Jolion 2006-05-27